Page 279 - 次貸風暴下的省思－解開CDS及CDO密碼

（二）鞍點近似法估計損失分配

先 利用高 斯 因子模型 建 構資產間相關性，在 給 定 系統 風險下，可求得 條件 違

約損失為 P ， 條件 損失分 配 即 累積 生成 函 數可用下 式表達 ：
i
∑  w i , with probabilit y P i ,
N
L | M = w i Y i | M = 
0 , with probabilit y 1 - P i
i = 1

∑ w i t
N
= − − =
K ( t M ) log( 1 P P e ) x
L i i
i = 1
ˆ ˆ
x 給 定下，可利用 累積 生成 函 數 K ( t M ) = x 求出 鞍點 值 t （ Saddle Point ），
L
將 鞍點 值 帶入 損失分 配 之 近似 公 式 ，可得 條件 違約損失分 配 。
∫ K L (t|M) − tx
1 c + i ∞
f (x|M) = e dt
L|M
2 πi c − i ∞
此法可 視 使用者需求，若將損失 區 間切 割愈 小，估計出來之損失分 配 也較為
準確 。在 建 立出 條件 損失分 配後 ，利用數值 積 分中的 Hermite-Gauss Quadrature
處 理 M 值的 積 分 問題 ，即可得損失分 配 。

∞
f ( x ) = f ( x M )φ ( M ) dM
L L
∫
−
∞
（三）鞍點近似法於因子模型之應用

利用因子模型去 描述 資產間違約相關性，可以利用市場上信用價差 反 推出 條

件 違約機率。在其 他條件 不變下，可得 條件 違約機率 ( P ) 對信用價差 ( S ) 之 敏感
i i
2 2
性 dP dS 以及 d P dS 。
i i i i
條件 損失分 配 也為 條件 違約機率之 函 數，可利用 鞍點近似 法之 技巧 求算 條件
違約損失對 條件 違約機率之 敏感 度，如下 式 ：

c + i ∞
∂ f ( x M ) ∂ K ( t M )
1 K ( t M ) − tx
L | M L
L
= e ( ) dt
∫
∂ P 2 π i c − i ∞ ∂ P
i i
271