Page 277 - 次貸風暴下的省思－解開CDS及CDO密碼

∞
P ( k ) = P ( k | M ) f ( M ) dM
t t
∫
− ∞
∞
2 2
− M M
= e [ e P ( k | M ) f ( M )] dM
t
∫
− ∞
10
2
M
i
≈ w ( M ) × e P ( k | M ) f ( M )
∑ i t i i
i = 1
其中， i 為數值 積 分所需之 M 點 數量， M 為 給 定的 M 值， w ( M ) 為 M 對應
i i i
的加權乘數。當 M 與 w ( M ) 已 知 時，就可以利用上 述 多項 式 來 近似 M 值的 積
i i
分。至此已 完 成機率 勺斗 法下的損失分 配函 數的 建 構。
四、鞍點近似法
（一）鞍點近似法概述

tY
數
配函
母函
數時，若動差
機變數加總之分
E [e ] ( M .G .F .)
立
獨
在計算多個
隨
為已 知 時，可以利用 反拉 普 拉斯轉 換（ Inverse Laplace Transform ）之 技巧 來求得
分 配函 數。假設有 N 個 獨 立變數 Y , Y ,..., Y ，其對應之動差 母函 數 都存 在，分 別
1 2 N
M (t ), M (t ),..., M (t ) 。
為
1 2 N
N N
Y = Y 之動差 母函 數為 M ( t ) = M ( t )
∑ i Y ∏ i
i = 1 i = 1
利用 反拉 普 拉斯轉 換，可 藉 由動差 母函 數推得 Y 之分 配函 數為
∫ Y
1 c + i ∞ log[ M ( t )] −ty
=
f ( y ) e dt
Y
− ∞
2 πi c i
∫ Y
1 c + i ∞ K ( t ) −ty
=
e dt
2 πi c − i ∞
但反拉 普 拉斯轉 換 很 不易求算，可利用快速複立 葉轉 換（ FFT ； Fast Fourier
15
Transform ）， 但 此法計算上較為 費 時。 Daniel (1954) 出了 鞍點近似 法來求算分
配函 數， Martin et al. (2001) 首次 將 鞍點近似 法應用到計算信用投資組合之損失
'
ˆ ˆ
分 配 。在 給 定損失 金 額 y 時， 令 K ( t ) = y 即可 反 推出 鞍點 t ，利用 泰勒展開式
Y
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