Page 278 - 次貸風暴下的省思－解開CDS及CDO密碼

ˆ
− t
將 K ( t ) ty 在 鞍點 附近展開 至二 階 項
Y
( 2 )
ˆ
K (t )
2
Y
ˆ ˆ ˆ
− ty = K (t ) − t y + (t − t ) + K
(t
K
)
Y Y
2 !

) −
K ( t ty
Y
將 被積 分 函 數 e 由上 式帶入
( 2 )
ˆ
K ( t )
Y 2
ˆ
( t − t )
ˆ ˆ
K ( t ) − ty K ( t ) − t y
Y Y 2 !
e = e e

由上 式 可得 f ( y ) 之分 配
Y
ˆ ˆ
K ( t ) − t y
Y
e
f ( y ) =
Y
( 2 )
ˆ
2π K (t )
Y

ˆ
若利用 泰勒展開式 將 K ( t ) − ty 在 鞍點 t 附近展開 至 四階 項可得較 精確 之
Y
f
Y ( y ) 之分 配 ：
( 2 ) ( 3 ) ( 4 )
ˆ ˆ ˆ
K (t ) K (t ) K (t )
2 3 4
Y Y Y
− ty = K (t ˆ ) − t ˆ y + (t − t ˆ ) + (t − t ˆ ) + (t − t ˆ ) + K
(t
K
)
Y Y
2 ! 3 ! 4 !
( 2 )
2
ˆ
K ( t )
( 3 ) ( 4 ) ( 3 )
Y 2  
ˆ
( t − t ) ˆ ˆ ˆ
 
K (t ) K (t ) 1 K (t )
ˆ ˆ  
K ( t ) − ty K ( t ) − t y 3 4 3
Y Y 2 ! Y Y Y
ˆ ˆ ˆ
 
e = e e 1 + (t − t ) + (t − t ) + (t − t ) + K
 
 
 3 ! 4 ! 2 !  3 !  
 
[ ]
ˆ ˆ 2
K ( t ) − t y ( 4 ) ( 3 )
Y  
ˆ ˆ
e
 1 K Y (t ) 5 K Y (t ) 
f ( y ) = 1 + − + K
 
Y [ ] 2 [ ] 3
( 2 ) ( 2 ) ( 2 )
ˆ 8 ˆ 24 ˆ
 
2 π K (t ) K (t ) K (t )
Y  Y Y 
也可利用 積 分 次序互 換而得 累積 分 配函 數及期望值， 進 而利用上 述 方 式 求得
半 解析公 式 。
∫ c + i ∞ e K Y ( t ) − tz
1
P ( Y ≥ z ) = dt
c − i ∞
2π i
t
∫
1 c + i ∞ e K Y ( t ) − tz
+
E ( Y − z ) = 2 dt
2π i c − i ∞
t

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