Page 368 - 衍生性金融商品理論與實務

358 衍生性金融商品理論與實務

Black 與 Scholes 再利用所 謂 的「 Ito's Lemma 」 將 d 展 開 為：
c
2
∂ C ∂ C 1 ∂ C
2 2
dC= ………………………….. 公式 (7-31)
dS + dt + σ S dt .
2
∂ S ∂ t 2
∂ S
σ 表示 股票股 資報酬 率的 變異 數， t 則為現在的時間。公式 (7-26) 式
代 入 公式 (7-25) 後可以改 變投資組 合 變 動 價 值的形式為：

2
∂ C ∂ C 1 ∂ C
2 2
dW= ………..... 公式 (7-32)
( α + α ) dS − ( α + α σ S ) dt
1 2 2 2
2
∂ t ∂ S 2
∂ S
如 果 連續不 斷 調 整 α 與 α 使 得 等於 0 ，則整個 避 險
1 2 α + α ( ∂ C / ∂ S )
1 2
投資組 合可以 達 到 無風險 的 境界 。為 簡 化公式起 見 ：
令 α =1 ，所以公式 (7-27) 可以 變 為：
1
2
∂ C 1 ∂ C
2 2
dW= ……………………… 公式 (7-33)
− 1 /( ∂ C / ∂ S )[ + σ S ]dt .
2
∂ t 2 ∂ S
Black 與 Scholes 認 為在均 衡 狀態下， 無風險投資組 合應該得到 無風
險投資報酬 列 等式必 須 成立： 否 則 市場 的 套 利 力量將介入 ， 使 得超額 報酬 消 失 ，因此
率，
下

2
∂ C 1 ∂ C
2 2
…. 公式 (7-34)
− 1 /( ∂ C / ∂ S )[ + σ S ]dt = [ S − 1 /( ∂ C / ∂ S )C ]rdt .
2
∂ t 2 ∂ S
將 公式 (7-29) 移項整理後， 使 可以得到著 名 的 選擇 權 價 值的 偏微 分 函
數式：

2
∂ C ∂ C 1 ∂ C
2 2
…………………………… 公式 (7-35)
= rC − rS − S σ
2
∂ t ∂ S 2 ∂ S
在 選擇 權到期時則